Pubblicato su: Scienze ed il loro insegnamento (nn 4\5 1999) -per gentile concessione dell'autore.

Prendiamo lo spunto da alcune parti di un libro "Segmenti e bastoncini. Dove sta andando la scuola?" di Lucio Russo, ed. Feltrinelli. Nel testo l'autore individua nella scuola, quale si è costituita in Europa nella prima metà del Novecento, alcuni contenuti decisivi per una formazione culturale di base idonea per affrontare gli studi specialistici universitari e ne tratteggia i caratteri "… I contenuti della cultura di base includevano…una serie di strumenti concettuali elementari, considerati indispensabili alle così dette 'persone colte'. Tra questi strumenti erano l'analisi grammaticale e logica del periodo e i fondamenti della geometria euclidea…Notiamo che vi è qualche analogia tra lo studio della geometria e l'analisi del periodo. In entrambi i casi gli studenti venivano abituati a usare contemporaneamente due diversi livelli di discorso: quello concreto(fornito in un caso dal disegno e nell'altro dal periodo da analizzare) e quello teorico, per il quale occorreva una terminologia specifica. In entrambi i casi la soluzione di problemi(in particolare di traduzione) veniva ottenuta applicando, in modo meccanico, regole generali a casi particolari."

A conferma della sintesi operata dall’autore riportiamo alcuni brani di un testo, Flatlandia, che è un racconto fantastico , pubblicato anonimo nel 1882, dall'abate Edwin A.Abbott , rettore della City of London School .

E' un racconto con il quale " avrete una idea abbastanza corretta del mio paese e dei miei compatrioti." I suoi compatrioti sono gli inglesi dell'età vittoriana.

I protagonisti del racconto, che è un’arguta satira sui costumi del tempo, sono triangoli, quadrati, poligoni regolari, circoli, rette che rappresentano le diverse classi sociali; dalla inferiore, quella Triangolare a quella più alta dei Poligoni regolari e dei Circoli massimi.

Alle donne è invece riservata la casta più vile; non hanno neanche la dignità di poligono in quanto sono rappresentate da semplici righette , con sulla punta un occhio, come aghi e per la loro configurazione "appuntita" costituiscono un pericolo per tutti i membri della società. Nelle case di Flatlandia hanno un ingresso riservato, ovviamente diverso da quello degli uomini, e soprattutto sono costrette, per farsi distinguere, ad emettere in continuazione un grido, il Grido di Pace, ed a dimenarsi. Infatti se un maschio per caso si imbatte nell’invisibile didietro di una donna-righetta ne verrebbe trafitto. Per evitare una strage esiste una legge che obbliga le donne a dimenarsi in continuazione per segnalare la loro natura e presenza ed evitare agli uomini di essere trapassati oppure a farsi accompagnare da un famigliare.

Tutti questi soggetti vivono su una superficie piana, appunto Flatlandia, e su questa superficie camminano, scivolando, senza sovrapporsi e non conoscono la terza dimensione, la cui assenza rende estremamente complicata l’osservazione di ciò che accade intorno ad ogni abitante. Alcuni dei capitoli del libro sono appunto dedicati ai " nostri metodi per riconoscerci a vicenda" .

"..come potrò render chiara a voi l'estrema difficoltà che incontriamo noi, in Flatlandia, per riconoscere le nostre rispettive configurazioni?……..tutti gli esseri della Flatlandia, qualunque sia la loro forma, presentano al nostro occhio il medesimo,.., aspetto, quello cioè di una linea retta. Se dunque tutti hanno lo stesso aspetto, come si farà a distinguere l'uno dall'altro?"

Un disegno aiuta a comprendere meglio la difficoltà di cui parla l’autore: un osservatore posto sullo stesso piano delle figure geometriche "vede" soltanto da un lato e ben si comprende che osservando un pentagono ed un triangolo " si vede" per entrambi solo uno stesso ed uguale lato.

I metodi che gli abitanti di Flatlandia usano per riconoscersi sono tre ma due quelli fondamentali. Il <<tastarsi>> ed il <<riconoscimento a vista>>.

" il mio lettore non creda che il <<tastarsi>> sia da noi il procedimento fastidioso che sarebbe da voi….Una lunga pratica e un lungo allenamento, iniziati a scuola e continuati nell'esperienza della vita quotidiana, ci mettono in grado di distinguere subito, mediante il senso del tatto, fra gli angoli di un Triangolo Equilatero, di un Quadrato e di un Pentagono; e non ho bisogno di dire che il vertice scervellato di un Triangolo isoscele è evidente anche al tocco più grossolano.."

E per abituare gli allievi a riconoscere, interiorizzare la scala dei valori angolari, in ogni scuola vi è un Alfabeto angolare sul quale esercitano, ripetutamente, la loro arte del riconoscimento al tatto.

Ma il <<tastarsi>> è solo una delle forme praticate in Flatlandia , ed è quella dei componenti delle classi sociali inferiori. Fra le classi più alte si utilizza un altro metodo: il riconoscimento a vista. Tale metodo si fonda sull'utilizzazione di conoscenze geometriche, conoscenze quali l'asse di un lato, la distanza dell’occhio ed il il centro del cerchio circoscritto alla figura ed inoltre si esamina la figura da riconoscere durante una sua rotazione. Il metodo, avverte l’autore, non è semplice in quanto richiede la combinazione logica di più elementi " che sono di natura tale da mettere alla prova l'angolarità dei più intelligenti, e da giustificare ..gli emolumenti dei Professori Emeriti di geometria di Wentbridge, dove la Scienza e l'Arte del Riconoscimento a Vista vengono regolarmente insegnate..". Ma l'autore fa anche delle considerazioni didattiche sul metodo del riconoscimento a vista ed afferma che " E' sorprendente quanto l'Arte- o piuttosto l'istinto- del Riconoscimento a Vista si sviluppi ….soprattutto evitando la pratica del <<tastarsi>>. ….Chi ha cominciato a <<tastare>> nei primi anni della propria vita non imparerà mai a <<vedere>> alla perfezione…..perciò i figli dei poveri sono autorizzati a <<tastare>> sin da piccoli e ne guadagnano una precocità.. che contrasta ..con la maturazione lenta ..dei giovani della Classe Poligonale che non abbiano ancora completato la loro educazione. Ma appena questi ultimi hanno terminato gli studi…in men che non si dica li si vede raggiungere e distanziare i loro rivali Triangolari in ogni arte, scienza e attività sociale."

E’ evidente per il rettore ed educatore, oltre che abate, Edwin A. Abbott che la superiorità del "riconoscimento a vista" sia dovuta alla sua natura razionale che si conquista attraverso studi rigorosi presso "Professori emeriti di geometria".

Ma ritornando ad un periodo più vicino notiamo come, nell’insegnamento della geometria, si siano affermate nuove tendenze. Citando sempre da Segmenti e bastoncini "…nel secondo dopoguerra l'insegnamento della geometria razionale entrò in crisi sotto l'azione di un duplice attacco. Molti sostennero che il metodo dimostrativo fosse troppo difficile per i ragazzi della scuola secondaria…..Questi critici suggerirono di limitarsi a verifiche empiriche, studiando la 'matematica pratica'. Ad esempio invece di dimostrare sulla base dei postulati euclidei che in un triangolo ogni lato è più corto della somma degli altri due, ci si può limitare a dare ai ragazzi dei bastoncini e far loro verificare che se un bastoncino è più lungo della somma degli altri due non è possibile 'chiudere' un triangolo. La seconda critica fu di segno opposto e venne da chi accusava la geometria classica di essere troppo legata alle percezioni visive e tattili, trascurando in particolare quei sistemi di postulati alternativi a quello classico introdotti dalle geometrie non euclidee. Si sostenne che nella scuola fosse meglio rinunziare all'intuizione visiva, insegnando a effettuare all'interno di teorie astratte molto generali.

La prima direzione fu la più seguita nei paesi anglosassoni, dove si rinunziò quasi ovunque a insegnare nelle scuole secondarie il metodo dimostrativo.

La seconda direzione fu invece propugnata dal gruppo di matematici francesi che si raccolse sotto lo pseudonimo di Nicolas Bourbaki. …

In ambedue i casi, rinunziando a uno dei due elementi essenziali, veniva disgregato nell'insegnamento quel doppio binario astratto-concreto che aveva costituito l'essenza della scienza esatta sin dalla sua nascita."

In Italia la didattica della geometria è stata poco influenzata da questi modelli anglo-sassoni e francesi in quanto ha potuto contare su una consolidata tradizione di scuola di geometria. Solo il vento bourbakista riuscì a soffiare e trasmise una qualche infatuazione insiemistica. Ma non si sviluppò mai un progetto organico di didattica bourbakista, come per esempio in Francia ed in Belgio. I libri di testo del periodo, fine anni sessanta e settanta, si limitarono a riportare un capitolo di teoria degli insiemi non collegato col resto del curriculum.

Merita invece una riflessione più attenta la situazione odierna caratterizzata da una richiesta di aggiornamento del curriculum della matematica. Tale giusta esigenza ha comportato un ampliamento dei temi da trattare. Sono stati inseriti temi quali Elementi di logica, Probabilità e Statistica, Informatica ed in parte la Geometria delle trasformazioni considerati, giustamente, nuovi argomenti di un programma di matematica.

Di fronte ad un ampliamento degli argomenti il docente si trova nella condizione di scegliere un possibile percorso, adatto ai fini ed obiettivi didattici che vuole raggiungere. Si verifica che nel concreto della realtà quotidiana scolastica i docenti spesso sacrificano o ridimensionano fortemente proprio la trattazione della geometria euclidea. Si ha la convinzione che sono in atto, nell'insegnamento della geometria, alcune tendenze che convergono in una sorta di liquidazione della geometria euclidea. Tale fenomeno di accantonamento avviene in modo diverso a seconda che il docente operi in istituti ad indirizzo tecnico-professionale oppure classico-scientifico.

-Nell' indirizzo tecnico-professionale, la geometria euclidea è, tout-court, sostituita, fin dal primo anno delle superiori, con la geometria analitica in quanto la geometria euclidea è ritenuta troppo difficile per la sua impostazione assiomatica e per le dimostrazioni che richiede; inoltre si ritiene che, non essendo utilizzabile in altre discipline, perda, per gli studenti, di significatività.

-Nell’ indirizzo classico-scientifico , la geometria euclidea viene invece svolta nel biennio ma il fine didattico è prevalentemente solo quello di avere qualche strumento in vista dell'esame finale di Stato perdendo la centralità formativa a vantaggio di una valenza informativa e nozionistica. Infatti i contenuti e soprattutto i metodi euclidei-sintetici non sono quasi mai utilizzati nel prosieguo del triennio, tranne che per un veloce e ansioso ripasso dei contenuti in occasione dell'esame finale di Stato. Comunque anche in questo indirizzo ben presto i metodi della geometria analitica si sovrappongono a quelli sintetici della geometria euclidea. La verifica di un risultato di un problema geometrico è condotta esclusivamente con criterio numerico dimenticando il contesto geometrico ove il problema è collocato.

Citando sempre da Segmenti e bastoncini " ….La tendenza attuale sembra molto pericolosa, consistendo in una lenta disgregazione del metodo ipotetico-deduttivo attuata, con vari sistemi, nell'ambito di una concezione eclettica che evita scelte nette. …Può sembrare una questione poco rilevante in sé, ma bisognerebbe essere consapevoli che in assenza di plausibili alternative, con la geometria razionale sarebbe espulso dalla scuola secondaria…il concetto di dimostrazione e quindi uno dei cardini della tradizione scientifica."

Non v'è dubbio che questa lenta espulsione della geometria euclidea dal curriculum dipenda dalla difficoltà di alcuni suoi processi di concettualizzazione, gli stessi che si ritengono utili per una formazione critica. L’insegnamento della geometria può sembrare solo un caso particolare che interessi gli addetti ai lavori e gli specialisti. Ma esso è riflesso di una problematica molto più vasta che investe il problema della nuova scuola: il nodo fra scuola di massa e qualità del curriculum.

In altri contesti, per esempio in America e nei paesi ove è forte la sua influenza culturale, il nodo è stato sciolto individuando due curricula distinti: uno per la scuola pubblica, fondato su alcuni saperi di base, caratterizzati da bassi profili di concettualizzazione in modo che tutti possano accedere alla loro comprensione ed acquisizione, l’altro riservato a centri di eccellenza, a gestione privata, ove il curriculum si fonda su discipline ad alto valore aggiunto formativo. La selezione avviene precocemente attraverso percorsi che iniziano con la prima scolarizzazione. Una delle prime assicurazioni che alcune famiglie americane, se possono, stipulano all’atto della nascita di un figlio è proprio quella che possa garantirgli una scuola di qualità fin dalle elementari. Il modello affascina alcuni osservatori italiani in quanto il 90% degli studenti americani raggiunge il titolo di scuola media superiore. Ma tale percentuale non soddisfa però il Congresso americano per la qualità dell’apprendimento dei suoi diplomati.

A seguito di alcune accurate indagini statistiche, delle quali gli americani sono maestri, si è accertato che la stragrande maggioranza dei diplomati crede che l’America sia stata scoperta dagli europei nel XVII secolo, che non sanno calcolare i due terzi dei tre quarti di una mela, che conoscono solo la loro lingua e con molti problemi di ortografia

In Europa si cercano invece altre strade, tentando di coniugare qualità e quantità.

Ritornando al merito dell’ insegnamento della geometria, senza la pretesa di dare una risposta generale, si può ragionevolmente fare qualche passo in avanti fra l'alternativa : o i segmenti nella mente della futura classe dirigente ed i bastoncini in mano a tutti gli altri; o per dirla con Abbott il "riconoscimento a vista" alle classi dei poligoni regolari ed " il riconoscimento per contatto" alla classe dei triangoli.

Tale possibile dicotomia è ben presente agli estensori dei nuovi programmi di matematica che hanno accompagnato in questi anni le nuove ipotesi di indirizzi sperimentali. Infatti se ci riferiamo ai programmi Brocca, che per la loro organicità possono essere considerati l’ attuale frontiera dei contenuti scolastici, osserviamo che l’ idea-guida è stata

Che, oltre l’ aggiornamento dei contenuti, si assegnasse alla disciplina una funzione formativa a prescindere dall’indirizzo della scuola.

Nei commenti ai singoli temi e nelle indicazioni didattiche, comuni a tutti gli indirizzi, scompare la divisione tradizionale fra scuola professionale, tecnica e liceale, che accompagnano i programmi, si ribadisce, in più occasioni, che lo studio e l’applicazione di algoritmi, regole, teorie devono servire, nel biennio, per attivare un " processo in cui l’appello all’intuizione sarà via via ridotto per dare più spazio all’astrazione ed alla sistemazione razionale". Mentre al termine degli studi secondari lo studente dovrà essere " dotato di rigorosi metodi di analisi, di capacità relative alla modellizzazione di situazioni.." . Compito del docente è quello di costruire, con i contenuti dei temi proposti, un percorso adatto a raggiungere tale fine.

L’esigenza di coniugare la qualità della formazione alla quantità dei destinatari sta producendo grandi sforzi sul piano dell’innovazione didattica. Vogliamo ora accennare, con un esempio, ad una felice combinazione degli elementi che abbiamo tratteggiato, ovvero ad un buon modello concreto-astratto ove fare geometria.

Negli anni ottanta si sono sviluppati molti software dedicati alla didattica della matematica. Per la geometria ha avuto e sta avendo un impiego notevole, per il successo che comporta, il software denominato cabri-géometre, ideato e costruito presso il centro di ricerca della didattica matematica dell’Università di Grenoble. Si tratta di un software, nella sua prima versione, didatticamente più rilevante, che offre allo studente la possibilità di costruire attraverso una riga ed un compasso offerti in un menù tutti gli oggetti della geometria euclidea; inoltre permette la possibilità di manipolare, modificare la figura eseguita. Il software capovolge la logica dell’insegnamento, mettendo al centro l’operare del discente che ha la possibilità di ricostruire delle parti significative della geometria euclidea. Inoltre, una volta costruita una configurazione geometrica e fissati alcuni suoi elementi di base, l’alunno è in grado di modificare la configurazione mantenendo invariate le proprietà geometriche che esistono fra gli elementi iniziali. Cerchiamo di spiegare con un esempio: si costruisce un triangolo, che ha i vertici situati su due rette parallele; eseguita la figura base si può, con una semplice azione del mouse, trascinare uno dei vertici lungo una delle rette. Si vengono a formare tanti triangoli diversi fra loro ma tutti rispettano la condizione iniziale dei tre vertici che giacciono sulle due rette parallele.

Quali sono i vantaggi?

Innanzitutto si attiva immediatamente l’azione dello studente e lo si pone al centro del percorso ma soprattutto si contribuisce , attraverso la dinamica alla quale le figure sono sottoposte, allo sviluppo dell’intuito spaziale e geometrico dello studente. Ed il tutto avviene in un contesto rigoroso di geometria euclidea . Dovendo ricercare una proprietà geometrica, per esempio nel nostro caso dei triangoli che hanno la stessa area, oltre che su un supporto nozionistico e di logica deduttiva può contare anche su un supporto visivo che aiuta a fare congetture e verifiche, cioè ad avviare quel processo razionale che porta alla dimostrazione. Lo scoglio della 'visione solo mentale' della figura fatta con carta e matita o alla lavagna, la quale per la sua staticità presuppone( sottolineo presuppone) una ottima capacità di immaginazione matematica, può essere aggirato ed affrontato da una angolazione diversa. Attraverso il software vengono attivate altre funzioni della mente che aiutano lo studente ad affrontare il percorso proposto.

L’ambiente didattico che il software crea ha sia il vantaggio del "fare" della geometria pratica dei bastoncini ma anche il vantaggio del ragionare per astratto, tipico dei segmenti ma sposta in avanti questa dualità. Il fare è la costruzione della figura e la sua manipolazione, il concettualizzare è la ricerca della proprietà della figura che non è variata nonostante le tante configurazioni possibili. Lo studente ha davanti agli occhi una situazione costituita da molte figure concrete, tutte collegate dalla stessa proprietà. E’ un multi-concreto quello che lo studente può materializzare e ciò lo aiuta a raggiungere l'astrazione della proprietà geometrica intesa come invariante del multi-concreto.

Questo esempio di software aiuta a sviluppare una centralità della geometria, anche in una scuola di massa, in quanto permette l’accesso alle operazioni mentali della dimostrazione a strati più ampi di studenti ed alla riflessione sulla natura mentale, razionale degli oggetti della geometria. Portiamo ancora un esempio per far comprendere meglio quest’ultima affermazione. Quando il docente di matematica dice "consideriamo un piano…" egli intende un piano costituito da infiniti punti, ognuno dei quali è privo di dimensione. E’ chiaramente un modello mentale, astratto che non corrisponde ad alcun piano della realtà, a nessuno dei fogli dei quaderni dello studente. Come ogni insegnante ben sa, è difficile far comprendere agli studenti questa dimensione astratta perché si ingenera nella sua mente una sovrapposizione fra un piano immaginato nella realtà e quello matematico privo di alcune dimensioni necessarie proprio all’immaginazione. E non è semplice scardinare questa confusione fra il concreto e l’astratto. Infatti spesso il docente cerca con le mani un supporto fisico, per spiegare meglio, come un foglio ma deve aggiungere " guardate questo foglio ma pensate al piano geometrico.." Nel caso del software citato, il piano sul quale si lavora è quello dato dalla videata del computer ed è un piano costituito da tanti pixel, di dimensione finita, che appaiono però in apparente continuità. A prima vista gli alunni possono ancora confondere il piano-video con il piano geometrico ma opportuni esercizi possono creare felici contraddizioni ove il software si trova nell’impossibilità di eseguire, nonostante la sua potenza manipolativa, che appare allo studente illimitata, alcune operazioni e produce risultati errati. Ma le stesse operazioni, eseguite dallo studente, sul suo piano geometrico, portano facilmente alla risoluzione. E’ una buona occasione da utilizzare didatticamente per rendere gli studenti consapevoli della superiorità e differenza qualitativa delle operazioni mentali su oggetti mentali rispetto alla manipolazione anche se eseguita da uno strumento potente quale il computer.

Il software descritto ,e non è certamente l’unico, rappresenta un caso in cui il computer può aiutare la didattica della matematica nel suo compito formativo ma non sempre il matrimonio fra nuove tecnologie e compiti formativi è così felice, anzi su questa possibile integrazione è in corso un acceso dibattito generale sul futuro della scuola italiana.

L’occasione è stata costituita dal documento della "commissione dei quaranta" , presieduta dal prof. Maragliano, incaricata dal Ministro Berlinguer di tracciare la mappa dei nuovi saperi della scuola dell’autonomia ovvero " le conoscenze fondamentali su cui si baserà l’apprendimento dei giovani nella scuola italiana nei prossimi decenni".

Delineiamo le posizioni, ricorrendo a qualche semplificazione e forzatura per far comprendere la natura dei problemi aperti dal dibattito.

Da una parte la commissione dei quaranta che delinea un profilo cognitivo ove è prevalente un sapere "trasversale" che attraversa i blocchi delle discipline. Cercando di spiegare meglio: della matematica la parte didatticamente rilevante, quella che deve costituire il sapere fondamentale è il processo di matematizzazione e non già i singoli contenuti; questi hanno valenza solo se funzionali a quell’obiettivo generale. In tal modo si cerca di modificare l’impianto culturale della nostra scuola gentiliana ancora legata ad una tradizione che non corrisponde più al contesto della cultura, della ricerca, dello sviluppo delle tecnologie.

In un’altra posizione troviamo altri esperti che ritengono irrinunciabili alcuni contenuti o perché patrimonio della nostra cultura o perché portatori di processi formativi.

Questa posizione comprende convinti conservatori culturali, che sono preoccupati di un eventuale indebolimento della identità culturale nazionale; e questo è il segno prevalente del dibattito sull’insegnamento della storia antica e le polemiche sull’introduzione della storia del ‘900. Ma su questa posizione di critica alla impostazione dei saperi trasversali convergono anche convinti innovatori che, pur accettando il traguardo formativo della commissione dei quaranta, lo giudicano ancora non realizzabile. E pur comprendendo e condividendo la non adeguatezza della nostra scuola ritengono il rimedio proposto peggiore del male. Di qui la preoccupazione di non indebolire l’apparato di quei contenuti che hanno ben funzionato come modelli generali di formazione; almeno fino a quando l’alternativa didattica dei saperi trasversali non si sia concretizzata in modelli validi ed estendibili a tutti i docenti.

Dallo stesso contrasto deriva anche il dibattito sull’uso delle nuove tecnologie che sono viste con favore perché "….strumenti estremamente motivanti per gli studenti ..che.. danno loro il senso di disporre di risorse per il saper fare e consentono di… valorizzare, in un quadro intellettuale più strutturato, forme di intelligenza intuitiva, empirica, immaginativa, assai diffuse fra i giovani.." . Ma anche con sospetto e diffidenza poiché " le funzioni tradizionali degli insegnanti tendono ad essere svuotate da tecnologie didattiche centralizzate e impersonali…..le attuali tecnologie sono insuperabili nella comunicazione unidirezionale e acritica.."

Il dibattito prosegue.